SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

 Nama : Ronald Hersan Wibowo

Kelas : XI IPS 3

No. Absen : 32

SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

Nomor 1

Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi $h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h\left(t\right)=120t-5t^2$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $270$                     C. $670$                  E. $770$
B. $320$                      D. $720$   

 

Pembahasan

Diketahui: $h\left(t\right)=120t-5t^2$. 
Turunan pertama fungsi $h$ adalah
$h^{\prime }\left(t\right)=120-10t$
Nilai $t$ akan maksimum saat $h^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$120–10t=0\iff 10t=120\iff t=12$
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t=12$, yaitu
$\begin{array}{cc}h\left(12\right)& =120\left(12\right)-5(12{)}^2\\ & \end{array}$$\begin{array}{c}=1440-720=720\end{array}$ 
Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $720\text{meter}$
(Jawaban D)

 

Nomor  2

Dari selembar karton berbentuk persegi yang panjang sisinya $30$cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi kecil di setiap pojok karton seperti gambar.

Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $\cdots {\text{cm}}^3$

.
A. $2.000$                           D. $5.000$
B. $3.000$                           E. $6.000$
C. $4.000$

 

Pembahasan

Misalkan panjang sisi persegi kecil adalah $x$ cm (akan menjadi tinggi kotak) sehingga panjang dan lebar balok menjadi $(30-2x)$ cm. Perhatikan juga bahwa interval nilai $x$ yang mungkin adalah $0<x<15$. 
Nyatakan volume kotak/balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{cc}V\left(x\right)& =plt\\ & =(30-2x)(30-2x)x\\ & =4x^3-120x^2+900x\end{array}$
Volume kotak akan maksimum apabila $V^{\prime }\left(x\right)=0$
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ 12x^2-240x+900& =0\\ \text{Bagi kedua ruas}& \text{dengan 12}\\ x^2-20x+75& =0\\ (x-15)(x-5)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=15$ (tidak memenuhi) atau $x=5$. 
Untuk $x=5$, diperoleh
$\begin{array}{cc}V\left(5\right)& =900\left(5\right)-120(5{)}^2+4(5{)}^3\\ & =4.500-3.000+500=2.000\end{array}$
Jadi, volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $2.000{\text{cm}}^3$
(Jawaban A)

Contoh soal 3

Suatu perusahaan memproduksi $x$ unit barang dengan biaya $(4x^2-8x+24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00                    E. Rp64.000,00
C. Rp48.000,00

Pembahasan 

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g\left(x\right)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h\left(x\right)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(4x^2-8x+24)\\ & =4x^3-8x^2+24x\\ g\left(x\right)& =40x\\ h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =40x-(4x^3-8x^2+24x)\\ & =-4x^3+8x^2+16x\end{array}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h^{\prime }\left(x\right)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =-4x^3+8x^2+16x\\ h^{\prime }\left(x\right)& =-12x^2+16x+16\\ 0& =-12x^2+16x+16\\ \text{Bagi}& \text{kedua ruas dengan -4}\\ 0& =3x^2-4x-4\\ 0& =(3x+2)(x-2)\end{array}$
Diperoleh $x=-\frac{2}{3}$ atau $x=2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h\left(x\right)$. 
$\begin{array}{cc}h\left(2\right)& =-4(2{)}^3+8(2{)}^2+16\left(2\right)\\ & =-4\left(8\right)+8\left(4\right)+32=32\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.
(Jawaban B)

Contoh soal 4

Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari $(2x-600+\frac{30}{x})$ ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\cdots$ hari. 
A. $80$                      C. $150$                       E. $320$
B. $100$                    D $240$   

Pembahasan 

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(2x-600+\frac{30}{x})\\ & =2x^2-600x+30\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}4x-600& =0\\ 4x& =600\\ x& =150\end{array}$
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $150\text{hari}$ agar biaya proyeknya minimum.
(Jawaban C)

Contoh soal 5

Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam 

$x$ hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $(3x-180+\frac{5.000}{x})$ ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\cdots$ juta rupiah. 
A. $220$                      C. $230$                  E. $280$   
B. $225$                      D. $260$       

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(3x–180+\frac{5.000}{x})\\ & =3x^2-180x+5.000\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}6x-180& =0\\ 6x& =180\\ x& =30\end{array}$
Proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyeknya minimum. Biaya yang dimaksud sebesar 
$\begin{array}{cc}f\left(30\right)& =3(30{)}^2-180(30)+5.000\\ & =2.700-5.400+5.000=2.300\end{array}$
Jadi, biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\text{230 juta rupiah}$
(Jawaban C)

Nomor 6

Sebuah benda bergerak dengan persamaan gerak y = 5t² − 4t + 8 dengan y dalam meter dan t dalam satuan detik. Tentukan kecepatan benda saat t = 2 detik!
A. 15 m/detik
B. 16 m/detik
C. 17 m/detik
D. 18 m/detik
E. 19 m/detik

Pembahasan

Persamaan kecepatan benda diperoleh dengan menurunkan persamaan posisi benda.
y = 5t² − 4t + 8
ν = y ‘ = 10t − 4

Untuk t = 2 detik dengan demikian kecepatan benda adalah

ν = 10(2) − 4 = 20 − 4 = 16 m/detik

 (Jawaban B)  

 

Nomor 7

Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling $(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $4$                      C. $10$                  E. $13$
B. $8$                      D. $12$     

 

Pembahasan

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{array}{cc}k& =2(p+l)\\ 2x+24& =2(p+8-x)\\ x+12& =p+8-x\\ p& =2x+4\end{array}$
Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =p\times l\\ & =(2x+4)(8-x)\\ & =-2x^2+12x+32\end{array}$ 
Luas akan maksimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+12& =0\\ 4x& =12\\ x& =3\end{array}$
Saat $x=3$, diperoleh
$\begin{array}{cc}p& =2x+4\\ p& =2\left(3\right)+4=10\end{array}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $10\text{meter}$
(Jawaban C)       

 

 Nomor  8

Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari 

dengan biaya proyek perhari

ratus ribu rupiah.

Agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu….
A. 40 hari
B. 60 hari
C. 90 hari
D. 120 hari
E. 150 hari

 

Pembahasan

Tentukan dulu fungsi biaya proyek dalam x hari, kalikan biaya pada soal dengan x

Biaya minimum tercapai saat turunannya = 0,

  (Jawaban E)   

 

Nomor 9

Biaya untuk memproduksi $x$ bungkus keripik tempe adalah $(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)$ ribu rupiah. Jika setiap bungkus keripik dijual dengan harga $(55-\frac{1}{2}x)$ ribu rupiah, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\cdots \cdot$
A. Rp225.000,00
B. Rp275.000,00
C. Rp375.000,00
D. Rp400.000,00
E. Rp425.000,00

 

Pembahasan

Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah 

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2+25x+25$, sedangkan fungsi penjualan sebanyak $x$ bungkus keripik tempe adalah $g\left(x\right)=x\cdot (55-\frac{1}{2}x)=55x-\frac{1}{2}{x}^2$. Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi keuntungan$$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =(55x-\frac{1}{2}{x}^2)-(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)\\ & =-\frac{3}{4}{x}^2+30x-25\end{array}$$Nilai fungsi $h$ akan maksimum ketika $h^{\prime }\left(x\right)=0$.

$$\begin{array}{cc}-\frac{3}{4}\left(2\right)x+30& =0\\ -\frac{3}{2}x& =-30\\ x& =30\times \frac{2}{3}\\ x& =20\end{array}$$Substitusi $x=20$ pada $h\left(x\right)$.
$$\begin{array}{cc}h\left(20\right)& =-\frac{3}{4}(20{)}^2+30(20)-25\\ & =-300+600-25=275\end{array}$$Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp275.000,00.
(Jawaban B)