SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI

Nama : Ronald Hersan Wibowo
Kelas : X IPS 3
No. Absen : 32

3.7 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri radian ke derajat, derajat ke radian

Contoh Soal 1
Nyatakan sudut 50° dan 89° ke dalam radian!

Penyelesian:
50° = 50° x π/180°
50° = 0,277π
50° = 0,277 (3,14)
50° = 0,87 radian

89° = 89° x π/180°
89° = 0,494π
89° = 0,494 (3,14)
89° = 1,55 radian

Contoh Soal 2
Nyatakan sudut 0,45 radian dan 0,89 radian ke dalam satuan derajat!

Penyelesaian:
0,45 radian = 0,45 x 180°/π
0,45 radian = 25,80°

0,89 radian = 0,89 x 180°/π
0,89 radian = 51,02°

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku dan dudut istimewa (60⁰ , 30⁰ , 45⁰ )

Perhatikan gambar berikut!

Nilai

\cos α

adalah

\dots \cdot

Dengan Teorema Pythagoras, panjang

c = A B

dapat ditentukan sebagai berikut.

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4} = 2

Cosinus sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku.
Untuk itu,

\cos α = \frac{b}{c} = \frac{1}{2}

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku di dalam koordinat kartesius

Misal dik. titik Q(0,5) dan garis OQ dengan sumbu x positif membentuk sudut a maka sin a = ...

Jawab:

Definisi sinus pada koordinat kartesius
sin a= y/r

untuk soal ini Q(0,5) maka x = 0, y = 5
r = √(x²+y²) = √(0²+5²) = √25 = 5

sin a = y/r = 5/5 = 1

3.7 Menyelesaikan nilai trigonometri pada suatu sudut segitiga siku-siku pada koordinat cartesius

Nilai dari tan 30° adalah

Jawab:

Diketahui sudut 30° berada pada kuadran I.

sin 30° = $\frac{1}{2}$

cos 30°= $\frac{1}{2} \sqrt{3}$

tan 30° = $\frac{sin\ 30^o}{cos\ 30^o}$
⇔ tan 30° = $\frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{1}{2} \sqrt{3} }$
⇔ tan 30° = $\frac{1}{ \sqrt{3} }$
⇔ tan 30° = $\frac{1}{3} \sqrt{3}$

3.7 Menyelesaikan komposisi operasi (+, -, :, dan •) nilai trigonometri

Nilai dari cos 60° cos 30° - sin 60° sin 30° adalah

Jawab :

Cos 60 cos 30 - sin 60 sin 30
= ½.½√3 - ½√3.½
= ¼√3 - ¼√3
= 0

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

Jika sin a = 1/2 , a di kuadran II , maka nilai dari tan a

Jawab :

$\sin A=\frac{1}{2}\\\frac{a}{c}=\frac{1}{2}\\\\a=1\\c=2\\b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\\\\\tan A=-\frac{a}{b}\\\tan A=-\frac{1}{\sqrt3}\\\tan A=-\frac{1}{3}\sqrt3(\text{Negatif karena berada di kuadran II})$

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut berelasi (kuadrat: I, II, III, IV), sudut negatif, dan sudut > 360⁰

Jika sin 30° =½ maka cos 300°=

Jawab :

cos 300°
= cos (360° - 60°)
= cos 60°
= cos (90° - 30°)
= sin 30°
= 1/2

3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri

Buktikan bahwa persamaan identitas trigonometri di bawah adalah benar!

$1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = sin \alpha$

Bukti:

$1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \frac{1 - sin^{2} \alpha}{1 + sin \alpha}$

$1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \frac{\left( 1 - sin \alpha \right) \left( 1 + sin \alpha) \right)}{1 + sin \alpha}$

$1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \left( 1 - sin \alpha \right)$

$1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - 1 + sin \alpha$

$1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = sin \alpha$

3.8 Menyelesaikan koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinata kutub

Jika titik P(4,45°) dinyatakan dengan sistem koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah

Jawab:

x = r . cos a
x = 4 . cos 45°
x = 4 . 1/2 √2
x = 2 √2

y = r . sin a
y = 4 . sin 45°
y = 4 . 1/2 √2
y = 2 √2

(2√2, 2√2)

3.8 Menyelesaikan soal cerita perbandingan trigonometri

Seekor kelinci yang berada di lubang tanah tempat persembunyiannya melihat seekor elang yang sedang terbang dengan sudut

60^{\circ}

(lihat gambar). Jika jarak antara kelinci dan elang adalah

18

meter, maka tinggi elang dari atas tanah adalah

\dots \cdot

meter.

Jika dilihat dari gambar, sisi depan sudut

60^{\circ}

ditanyakan panjangnya dan sisi miring segitiga (hipotenusa) diketahui panjangnya. Dengan demikian, perbandingan trigonometri yang dapat digunakan adalah sinus, yakni

\begin{aligned} \sin 60^{\circ} & = \frac{x}{18} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & = \frac{x}{18} \\ x & = 18 \times \frac{1}{2} \sqrt{3} = 9 \sqrt{3} \end{aligned}

Jadi, tinggi elang dari atas tanah adalah

9 \sqrt{3}

meter.

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 2 sudut dan 1 sisi

Pada segitiga ABC diketahui AC=10 cm, besar sudut B=45 derajat, dan besar sudut A=30 derajat. tentukan panjang BC.

Jawab :

Diketahui :

Panjang AC = b = 10 cm

Sudut B = 45°

Sudut A = 30°

Ditanyakan :

Panjang BC = a = ......

Jawab :

Dengan aturan sinus

a/(sin A) = b/(sin B)

a/(sin 30°) = 10/(sin 45°)

a/(1/2) = 10/(1/2 √2)

a/1 = 10/(√2)

a = 10/(√2) . (√2)/(√2)

a = (10 √2)/2

a = 5 √2

Jadi panjang BC = 5 √2 cm

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 1 sudut dan 2 sisi

pada segitiga ABC diketahui AB=4cm, AC=4√2, dan sudut C=30° dengan demikian sudut A sama dengan

Jawab :

$\frac{AB}{sin C} = \frac{AC}{sin B}$

4 sin B= 4 $\sqrt{2}$ sin30
4 sin B = 4 $\sqrt{2}$ x $\frac{1}{2}$
sin B = $\frac{2 \sqrt{2}}{4}$
sin B = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{2}$
arc sin B = 120

A+B+C=180
A+120+30=180
A+150=180
A=180-150
A=30

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sisi

pada segitiga PQR,sudut QPR=120°,PQ=12 dan PR=10. Dengan demikian panjang QR sama dengan

Jawab :

Aturan Cosinus
QR² = PQ² + PR² - 2.PQ.PR.cos∠QPR
QR² = 12² + 10² - 2.12.10.cos 120°
QR² = 12² + 10² - 2.12.10.(-0,5)
QR² = 144 + 100 - (-120)
QR² = 144 + 100 + 120
QR² = 364
QR = √364
QR = 2√91

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sudut

Diketahui perbandingan sisi-sisi segitiga ABC adalah 2:3:4. Nilai kosinus sudut terbesar adalah

Jawab :

Sisi ABC , AB = 2x , BC = 3x , AC = 4x

Sudut terbesar didepan sisi terpanjang ,

sisi terpanjang = AC

sudut terbesar = < B

cos B = (AB² + BC² - AC²) / (2)(AB)(BC)

cos B = (2x)²+(3x)² -(4x)² / 2(2x)(3x)

cos B = (4+9 -16) x²/ (12) x²

cos B = (-3)/(12)

cos B = - 1/4

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

1. Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc

jawab :

L = ½.ab.ac.Sin a
L = ½.6.8.Sin 150°
L = 12 cm²

2. Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut B dan C berturut-turut yaitu 30^o dan 37^o. Jika panjang sisi di antara dua sudut tersebut yaitu 8 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :
Dik : B = 30^o, C = 37^o, a = 8 cm
Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :
⇒ A + B + C = 180^o
⇒ A = 180^o - (B + C)
⇒ A = 180^o - (30^o + 37^o)
⇒ A = 180^o - 67^o
⇒ A = 113^o

Berdasarkan rumus di atas :

⇒ L =	a² sin B sin C
	2 sin A

⇒ L =	8² sin 30^o sin 37^o
	2 sin 113^o

⇒ L =	64 (0,5) (0,6)
	2 (0,92)

⇒ L =	19,2
	1,84

⇒ L = 10,4² cm

Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 10,4² cm.

3. Pada segitiga ABC diketahui AB = 4 cm, AC = 6 cm dan BC = 8 cm. maka luas segitiga ABC adalah

Jawab:

K = 4+6+8 = 18 cm

s = K/2 = 18/2 = 9 cm

Luas segitiga
= √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC))
= √(9(9-4)(9-6)(9-8))
= √(9.5.3.1)
= √135 = 3√15 cm²

3.10 Menyelesaikan gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Grafik di atas adalah grafik fungsi

\dots \cdot

Grafik di atas merupakan modifikasi grafik cosinus (karena tidak dimulai dari garis normal di sumbu-

X

) dengan bentuk umum

f (x) = a \cos k x

.
Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya

\frac{1}{2}

, sedangkan nilai minimumnya

- \frac{1}{2}

, sehingga

\begin{aligned} a & = \frac{N. Maksimum - N. Minimum}{2} \\ = \frac{\frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})}{2} = \frac{1}{2} \end{aligned}

Saat

x = 0^{\circ}

, nilai fungsinya

\frac{1}{2}

, lalu berulang kembali di

x = π

, sehingga periodenya

π

. Dengan demikian,

k = \frac{2 π}{Periode} = \frac{2 π}{π} = 2

.
Jadi, grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi

f (x) = \frac{1}{2} \cos 2 x

3.10 Menyelesaikan membaca gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Pada interval 45°< x < 90° maka grafik dari y = 3 cos 2x akan

Diketahui:

y = 3 cos 2x

Ditanya: grafik y = 3 cos 2x pada interval 45° ≤ x ≤ 90°

Jawab:

Untuk menggambar grafik, diperlukan titik-titik yang melalui koordinat (x, y). Titik-titik tersebut diperoleh dengan cara mendaftar anggota pada grafik y = 3 cos 2x .

Karena hanya diperlukan pada interval 45° ≤ x ≤ 90° , maka kita hanya akan mendaftar sudut-sudut istimewa pada interval tersebut. Sudut istimewa diantara 45° - 90° adalah: 45°, 60°, dan 90°. Maka diperoleh:

x = 45°, 60°, dan 90°

subtitusikan nilai x satu persatu kedalam persamaan y

untuk x = 45°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(45°)

y = 3 cos 90°

y = 3(0)

y = 0

Maka diperoleh titik (45°, 0)

untuk x = 60°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(60°)

y = 3 cos 120°

Ingat! cos 120° terletak di kuadran II

y = 3 (-cos (180° - 60°))

y = 3

y =

Maka diperoleh titik (60°, )

untuk x = 90°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(90°)

y = 3 cos 180°

y = 3(-1)

y = -3

Maka diperoleh titik (90°, -3)

Dari titiik-titik tersebut kemudian digambar pada bidang kartesisus. Gambar grafik dapat dilihat pada lampiran. Dari grafik tersebut terlihat bahwa grafik y = 3 cos 2x terletak di bawah sumbu- x, atau pada sumbu- y negatif, dan graik tersebut juga terbuka ke atas.

∴ Jadi graik y = 3 cos 2x pada interval 45° ≤ x ≤ 90° akan terbuka keatas dan di bawah sumbu-x atau pada sumby-y negatif.

3.10 Menyelesaikan Range nilai fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Pada interval 0° < x < 90° grafik fungsi seluruhnya berada di atas sumbu x. fungsi tersebut adalah

Jawab:

y = sin 2* 0 = sin 0 = 0

y = sin 2 * 45 = sin 90 = 1

y = sin 2 * 90 = sin 180 = 0

jadi fungsi y = sin 2x

3.7 Menyelesaikan sudut elevasi, sudut depresi

1. Budi melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Budi dan menara yang dilihatnya adalah 150 m dan tinggi Budi adalah 120 cm maka tinggi menara tersebut adalah …

Jawab

tan 30⁰ = $\frac{x}{150}$

$\frac{1}{3} \sqrt{3} = \frac{x}{150}$

x = $\frac{1}{3} \sqrt{3}$ . 150

x = 50√3

Jadi tinggi menara adalah

= x + tinggi Budi

= 50√3 m + 120 cm

= 50√3 m + 1,2 m

= (50√3 + 1,2) m

2. Seorang anak dengan tinggi 160 cm berdiri pada jarak 12 m dari kaki tiang bendera. Jika sudut depresi dari puncak tiang terhadap anak adalah 45° maka tinggi tiang bendera itu adalah …

Jawab

tan 45⁰ = $\frac{x}{12}$

1 = $\frac{x}{12}$

x = 12

Jadi tinggi tiang bendera adalah

= x + tinggi anak

= 12 m + 160 cm

= 12 m + 1,6 m

= 13,6 m

3.10 Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum

1. Nilai maksimum dari fungsi y = 4 sin x cos x adalah...

Jawab :

Nilai maksimum dari fungsi y = 4 sin x cos x adalah 2. Nilai dari sin ax dan cos ax adalah –1 ≤ sin ax ≤ 1 dan –1 ≤ cos ax ≤ 1, sehingga:

Nilai maksimum dari sin ax dan cos ax adalah 1

Nilai minimum dari sin ax dan cos ax adalah –1

dengan a adalah bilangan real

Rumus sudut rangkap pada trigonometri

sin 2A = 2 sin A cos A

cos 2A = cos² A – sin² A

cos 2A = 2 cos² A – 1

cos 2A = 1 – 2 sin² A

tan 2A = $\frac{2 \: tan \: A}{1 \: - \: tan^{2} \: A}$

y = 4 sin x cos x

y = 2 . 2 sin x cos x

y = 2 . sin 2x

y = 2 sin 2x

karena nilai dari sin 2x adalah –1 ≤ sin 2x ≤ 1, maka y = 2 sin 2x akan bernilai maksimum jika sin 2x = 1

sehingga nilai maksimum dari y = 4 sin x cos x adalah

y = 2 sin 2x

y = 2 (1)

y = 2

2. Nilai minimum dari fungsi y = √3 cos x - sin x adalah...

Jawab :

Nilai Maksimum minimum fungsi trigonometri

y = √3 cos x - sin x ubah bentu ke y = k cos ( x - a)
a= √3
b = - 1
k = √(a²+b²)
k = √(3 +1)= +_2
Nilai minimum nya = -2

Cari Blog Ini

Tugas matematika

SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI - RONALD HERSAN WIBOWO

Misal dik. titik Q(0,5) dan garis OQ dengan sumbu x positif membentuk sudut a maka sin a = ...

Nilai dari tan 30° adalah

Nilai dari cos 60° cos 30° - sin 60° sin 30° adalah

Jika sin a = 1/2 , a di kuadran II , maka nilai dari tan a

Jika titik P(4,45°) dinyatakan dengan sistem koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah

Pada segitiga ABC diketahui AC=10 cm, besar sudut B=45 derajat, dan besar sudut A=30 derajat. tentukan panjang BC.

pada segitiga ABC diketahui AB=4cm, AC=4√2, dan sudut C=30° dengan demikian sudut A sama dengan

pada segitiga PQR,sudut QPR=120°,PQ=12 dan PR=10. Dengan demikian panjang QR sama dengan

Diketahui perbandingan sisi-sisi segitiga ABC adalah 2:3:4. Nilai kosinus sudut terbesar adalah

1. Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc

3. Pada segitiga ABC diketahui AB = 4 cm, AC = 6 cm dan BC = 8 cm. maka luas segitiga ABC adalah

Pada interval 45°< x < 90° maka grafik dari y = 3 cos 2x akan

Pada interval 0° < x < 90° grafik fungsi seluruhnya berada di atas sumbu x. fungsi tersebut adalah

1. Nilai maksimum dari fungsi y = 4 sin x cos x adalah...

2. Nilai minimum dari fungsi y = √3 cos x - sin x adalah...

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

Tugas matematika